20.77: "Математические основы информатики", Системы счисления. Умножение.

Умножение в двоичной системе счисления

Рассмотрим умножение двух чисел в двоичной системе: 11011₂ и 1001₂.

Шаги решения:

Запишите числа одно под другим:

              11011
            x  1001

Умножьте каждую цифру нижнего числа на верхнее число, сдвигая результат на соответствующую позицию:

            
  11011
            
x  1001
            
---------
            
 (умножаем на 1) +11011
           
 (умножаем на 0 и сдвигаем на одну позицию влево) +000000
           
 (умножаем на 0 и сдвигаем на две позиции влево) +0000000
         
 (умножаем на 1 и сдвигаем на три позиции влево) +11011000
         
   ---------
         
  11101111

Таким образом, результат умножения 11011₂ на 1001₂ равен 11101111₂.

Задача 1: Умножение в 2-ичной системе счисления

Задача: Выполните умножение в 2-ичной системе счисления: 11001₂ * 101₂

Шаги решения:

Запишем оба числа одно под другим, как при обычном умножении:

                          11001₂
                        x   101₂

Умножаем каждую цифру верхнего числа на нижнее число поочередно и сдвигаем результат влево:
- 11001₂ * 1₂ = 11001₂
- 11001₂ * 0₂ = 00000₂ (поскольку умножение на ноль всегда дает ноль, сдвинуто на 1 разряд влево)
- 11001₂ * 1₂ = 11001₂ (сдвинуто на два разряда влево)
Складываем полученные результаты:
11001₂
x 101₂
------
11001₂
000000₂
1100100₂
------
1111101₂

Ответ: 11001₂ * 101₂ = 1111101₂

Таблица умножения в восьмеричной системе

x	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	10	12	14	16
3	3	6	11	14	17	22	25
4	4	10	14	20	24	30	34
5	5	12	17	24	31	36	43
6	6	14	22	30	36	44	52
7	7	16	25	34	43	52	61

Примеры умножения в восьмеричной системе:

Пример 1: 3 (восьмеричное) * 5 (восьмеричное) = 17 (восьмеричное)
Объяснение: В десятичной системе это 3 * 5 = 15, что в восьмеричной равно 17.

Пример 2: 6 (восьмеричное) * 7 (восьмеричное) = 52 (восьмеричное)
Объяснение: В десятичной системе это 6 * 7 = 42, что в восьмеричной равно 52.

Задача 2: Умножение в 8-ичной системе счисления

Задача: Выполните умножение в 8-ичной системе счисления: 106₈ * 7₈

Шаги решения:

Запишем оба числа одно под другим, как при обычном умножении:

                          106₈
                        x   7₈

Умножаем каждую цифру верхнего числа на нижнее число поочередно и сдвигаем результат влево (как в десятичной системе):
- 6₈ * 7₈ = 52₈ (мы используем восьмеричную таблицу умножения)
- 0₈ * 7₈ = 0₈
- 1₈ * 7₈ = 7₈

Складываем полученные результаты:

Ответ: 106₈ * 7₈ = 752₈

Решать задачи по теме

x	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	10	12	14	16
3	3	6	11	14	17	22	25
4	4	10	14	20	24	30	34
5	5	12	17	24	31	36	43
6	6	14	22	30	36	44	52
7	7	16	25	34	43	52	61

x	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	10	12	14	16
3	3	6	11	14	17	22	25
4	4	10	14	20	24	30	34
5	5	12	17	24	31	36	43
6	6	14	22	30	36	44	52
7	7	16	25	34	43	52	61

x	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	10	12	14	16
3	3	6	11	14	17	22	25
4	4	10	14	20	24	30	34
5	5	12	17	24	31	36	43
6	6	14	22	30	36	44	52
7	7	16	25	34	43	52	61